Funció gamma i integrals Gaussianes

Funció gamma

Definició

Per valors reals positius $(z>0)$  es defineix:

\boxed{\Gamma(z)\equiv\int_0^\infty x^{z-1}e^{-x}dx}

Propietats

\boxed{\Gamma(z+1)=z\cdot\Gamma(z)}

\boxed{\Gamma(n+1)=n!}

\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin (\pi z)}

Definició per valors negatius

Per valors reals negatius, s’utilitzen les propietats.

\Gamma(z)=\frac{\Gamma(z+1)}{z}

\Gamma(z)=\frac{\pi}{\sin (\pi z)}\frac{1}{\Gamma(1-z)}

Exemple: Càlcul del valor de $\Gamma(-1/2)$ 
$\Gamma(-1/2)=\frac{1}{-1/2}\Gamma(1/2)=-2\sqrt{\pi}$
$\Gamma(-1/2)=\frac{\pi}{\sin(-\pi/2)}\frac{1}{\Gamma(1+1/2)}=\frac{\pi}{-1}\frac{2}{\sqrt\pi}=-2\sqrt{\pi}$

Alguns valors concrets

\begin{aligned} \hspace{-1.2em}\Gamma(0)&=\nexists \end{aligned} \\[0.5em] \hspace{-1.2em}\boxed{\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}} \\[0.9em] \begin{aligned} \Gamma(1)&=0!=1 \\[0.5em] \Gamma(3/2)&=\frac{\sqrt{\pi}}{2} \\[0.9em] \Gamma(2)&=1 \\[0.5em] \Gamma(5/2)&=\frac{3\sqrt{\pi}}{4} \\[0.5em] \Gamma(7/2)&=\frac{15\sqrt{\pi}}{8} \\[2.5em] \Gamma(-1/2)&=-2\sqrt{\pi} \\[0.5em] \Gamma(-3/2)&=\frac{4}{3}\sqrt{\pi} \\[0.5em] \Gamma(-5/2)&=-\frac{8}{15}\sqrt{\pi} \\[0.9em] \Gamma(-n)&=\nexists \end{aligned}

Càlcul de $\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$

Solució integral Gaussiana: Vídeo demo

\boxed{\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}}

Sabent el valor d’aquesta integral podem calcular $\Gamma(\frac{1}{2})$ 

\sqrt{\pi}=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx=2 \int_0^{\infty} e^{-x^2}dx=2 \int_0^{\infty} \frac{e^{-t}}{2 \sqrt{t}} d t=\int_0^{\infty} t^{-\frac{1}{2}} e^{-t} d t=\Gamma\Big(\frac{1}{2}\Big)

Fórmula per nombres semienters positius

A partir de la propietat $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$  s’observa que

\Gamma(n+1/2)=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\Gamma(1/2)

I coneixent el valor de $\Gamma(\frac{1}{2})$ , la fórmula per semienters positius queda

\boxed{\Gamma(n+1/2)=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi}}

On $!!$  denota el doble factorial del nombre enter $(2n-1)$ .

Expressió alternativa
A partir de la identitat següent
$(2 k-1) ! !=\frac{(2 k) !}{2^k k !}$
Podem reescriure l’expressió sense involucrar dobles factorials
$\Gamma(n+1/2)=\frac{(2 n) !}{4^n n !} \sqrt{\pi}$

Extra: Valors concrets més avançats

Nota: les següents són constants transcendentals i independents algebraicament de $\pi$ 

\Gamma\Big(\frac{1}{3}\Big)\qquad \Gamma\Big(\frac{1}{4}\Big)\qquad \Gamma\Big(\frac{1}{5}\Big)\qquad \Gamma\Big(\frac{2}{5}\Big)\qquad \Gamma\Big(\frac{1}{8}\Big)

Valors numèrics aproximats
- $\Gamma(\frac{1}{3})\approx 2.6789$
- $\Gamma(\frac{1}{4})\approx 3.6256$
- $\Gamma(\frac{1}{5})\approx 4.5908$
- $\Gamma(\frac{1}{8})\approx 7.5339$
- $\Gamma(\frac{2}{5})\approx ~????$

Alguns valors concrets per $p/q\lt 1$ 

\begin{aligned} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) & =\sqrt{\pi} & \quad \Gamma\left(\frac{2}{3}\right) & =\frac{2 \pi}{\Gamma\big(\frac{1}{3}\big)\sqrt{3}} \\[1.6em] \Gamma\bigg(\frac{3}{4}\bigg) &=\frac{\pi\sqrt{2}}{\Gamma\big(\frac{1}{4}\big)} & \Gamma\left(\frac{1}{6}\right) & =\frac{\big[\Gamma\big(\frac{1}{3}\big)\big]^2\sqrt{3}}{\sqrt{\pi} 2^{1 / 3}} \\[1.6em] \Gamma\left(\frac{3}{5}\right) & =\frac{\pi \sqrt{2} \sqrt{5+\sqrt{5}}}{\Gamma\big(\frac{2}{5}\big)\sqrt{5}} & \Gamma\left(\frac{5}{6}\right) & =\frac{\pi^{3 / 2} 2^{4 / 3}}{\big[\Gamma\big(\frac{1}{3}\big)\big]^2\sqrt{3}} \\[1.6em] \Gamma\left(\frac{4}{5}\right) & =\frac{\pi \sqrt{2} \sqrt{5-\sqrt{5}}}{\Gamma\big(\frac{1}{5}\big)\sqrt{5}} & \Gamma\left(\frac{3}{8}\right) & =\frac{\Gamma\big(\frac{1}{8}\big)\sqrt{\pi} \sqrt{\sqrt{2}-1} }{\Gamma\big(\frac{1}{4}\big)} \\[1.6em] \Gamma\left(\frac{5}{8}\right) & =\frac{\Gamma\big(\frac{1}{4}\big)}{\Gamma\big(\frac{1}{8}\big)}\sqrt{\pi} 2^{3 / 4} & \Gamma\left(\frac{7}{8}\right) & =\frac{\pi 2^{3 / 4} \sqrt{\sqrt{2}+1}}{\Gamma\big(\frac{1}{8}\big)} \end{aligned}

Alguns valors concrets per $p/q\gt 1$ 

A partir de la propietat $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$  podem calcular més valors

\begin{aligned} \Gamma\left(\frac{5}{4}\right) & =\frac{\Gamma\big(\frac{1}{4}\big)}{4} & \qquad\quad \Gamma\left(\frac{7}{4}\right) & =\frac{3\pi\sqrt{2}}{4\Gamma\big(\frac{1}{4}\big)} \\[1.6em] \Gamma\bigg(\frac{4}{3}\bigg) &=~??? & \qquad\quad \Gamma\left(\frac{5}{3}\right) & =~??? \\[1.6em] \Gamma\bigg(\frac{6}{5}\bigg) &=~??? & \qquad\quad \Gamma\left(\frac{7}{5}\right) & =~??? \end{aligned}

Més informació sobre valors particulars de la funció Gamma
Particular values of the gamma function
The gamma function is an important special function in mathematics. Its particular values can be expressed in closed form for integer and half-integer arguments, but no simple expressions are known for the values at rational points in general. Other fractional arguments can be approximated through efficient infinite products, infinite series, and recurrence relations.
https://en.wikipedia.org/wiki/Particular_values_of_the_gamma_function
https://arxiv.org/pdf/math/0403510v1.pdf

Extra: Gràfic de la funció Gamma

Gràfic per valors reals

Gràfic per valors complexes

Gràfic interactiu fet amb Plotly
https://sympy-plot-backends.readthedocs.io/en/v2.0.1/modules/ccomplex-7.html

Integrals impròpies relacionades (Integrals Gaussianes)

Introducció

En física sovint necessitem calcular les integrals d’aquest tipus de funcions:

$f(x)=x^ne^{-ax}$

$f(x)=x^ne^{-ax^2}$

$f(x)=x^n e^{-a(x+b)^2}$

A on es fa servir això?
Física Estadística, Mètodes I, Astro…
Valor mitjà d’una variable en què la seva densitat decau exponencialment
$\langle \blue{r}\rangle=\int_{0}^\infty \blue{r}\purple{\rho(r)}dr= \int_{0}^\infty \blue{r}\purple{e^{-ar}}dr$
$\langle \blue{r}\rangle=\int_{0}^\infty \blue{r}\purple{\rho(r)}dr= \int_{0}^\infty \blue{r}\purple{e^{-ar^2}}dr$
$\langle \blue{x}\rangle=\int_{-\infty}^\infty \blue{x}\purple{\rho(x)}dx= \int_{-\infty}^\infty \blue{x}\purple{e^{-ax^2}}dx=0$
$\langle \blue{x^2}\rangle=\int_{-\infty}^\infty \blue{x^2}\purple{\rho(x)}dx= \int_{-\infty}^\infty \blue{x^2}\purple{e^{-ax^2}}dx$
“Recordem que $\Delta X=\small\sqrt{\langle X^2\rangle-{\langle X\rangle}^2}$ i per tant cal saber trobar també $\langle \blue{r^2}\rangle$  i $\langle \blue{x^2}\rangle$ ”.
Física Quàntica i Mecànica Quàntica
Valor esperat d’una variable quan la funció d’ona té un terme que decau exponencialment.
$\langle \blue{r}\rangle=\int\int\int \Psi^*(r,\theta,\varphi)\blue{r}\Psi(r,\theta,\varphi)dr=C\int_0^\infty [R(r)]^2\blue{r}dr$
“Acabar de completar-ho un dia més correctament” :)

1. Integral de

x^ne^{-ax}

Fent un canvi de variable $t=ax$  obtenim

\boxed{\int_0^\infty x^ne^{-ax}dx=\frac{\Gamma(n+1)}{a^{n+1}}}

\int_0^\infty x^ne^{-ax}dx=\frac{n!}{a^{n+1}}

Procediment canvi de variable
Canvi de variable: $t=ax\longleftrightarrow x=\frac{t}{a}$
Diferencial: $dt=adx\longleftrightarrow dx=\frac{1}{a}dt$
$\int_0^\infty x^ne^{-ax}dx=\frac{1}{a^{n+1}}\int_0^\infty t^ne^{-t}dt=\frac{\Gamma(n+1)}{a^{n+1}}$

Notar que per aquesta integral no podem estendre l’interval d’integració.

\int_{-\infty}^\infty x^ne^{-ax}dx=\pm\infty

Exemples ràpids
- $\int_0^\infty e^{-ax}dx=\frac{1}{a}$
- $\int_0^\infty x^{1/2}e^{-ax}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{a}}$
- $\int_0^\infty xe^{-ax}dx=\frac{1}{a^2}$
- $\int_0^\infty x^{3/2}e^{-ax}dx=\frac{3\sqrt{\pi}}{4a^{3/2}}$
- $\int_0^\infty x^2e^{-ax}dx=\frac{2}{a^3}$
- $\int_0^\infty x^{5/2}e^{-ax}dx=\frac{15\sqrt{\pi}}{8a^{5/2}}$
- $\int_0^\infty x^3e^{-ax}dx=\frac{6}{a^4}$

2. Integral de

x^ne^{-ax^2}

A partir d’un canvi de variable $t=ax^2$  obtenim

\boxed{\int_0^{\infty} x^n e^{-a x^2} dx= \frac{\Gamma\big(\frac{n+1}{2}\big)}{2a^{(n+1) / 2}}}

\int_0^{\infty} x^n e^{-a x^2} dx = \frac{(n-1)!!}{2^{\frac{n}{2}-1}a^{\frac{n+1}{2}}}\sqrt{\pi}

Procediment canvi de variable
Canvi de variable: $t=ax^2\longleftrightarrow x=\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{a}}$ 
Diferencial: $dt=2a\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{a}}dx=2\sqrt{at}dx\longleftrightarrow dx=\frac{1}{2\sqrt{at}}dt$ 
$\begin{aligned} \int_0^{\infty} x^n e^{-a x^2} dx &= \int_0^{\infty} \bigg[\footnotesize\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{a}} \bigg]^n\normalsize e^{-t} \cdot \frac{1}{2\sqrt{at}}dt \\ &=\frac{1}{2a^{(n+1) / 2}} \int_0^{\infty} t^{\frac{n-1}{2}} e^{-t} d t \\ &=\frac{1}{2a^{(n+1) / 2}} \Gamma\bigg(\frac{n+1}{2}\bigg) \end{aligned}$

Exemples ràpids
- $\int_0^{\infty} e^{-a x^2} dx= \frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{a}}$
- $\int_0^{\infty} x^{1/2}e^{-a x^2} dx= \frac{\pi\sqrt{2}}{2a^{3/4}\Gamma(\frac{1}{4})}$
- $\int_0^{\infty}x e^{-a x^2} dx= \frac{1}{2a}$
- $\int_0^{\infty}x^{3/2} e^{-a x^2} dx= \frac{\Gamma (\frac{1}{4})}{8a^{5/4}}$
- $\int_0^{\infty}x^2 e^{-a x^2} dx= \frac{\sqrt{\pi}}{4a^{3/2}}$
- $\int_0^{\infty}x^3 e^{-a x^2} dx= \frac{1}{2a^2}$
- $\int_0^{\infty}x^4 e^{-a x^2} dx= \frac{3\sqrt{\pi}}{8a^{5/2}}$

En aquest cas la funció presenta simetria i per tant podem estendre l’interval d’integració.

Repàs de paritat de funcions
Les següents funcions presenten simetria parell (EVEN) o senar (ODD).
- $e^{-x^2}=\text{EVEN}$
- $xe^{-x^2}=\text{ODD}$
- $x^2e^{-x^2}=\text{EVEN}$
- $x^3e^{-x^2}=\text{ODD}$
Per aquests funcions es compleix
- $\int_0^\infty \text{EVEN}=2\int_{-\infty}^{\infty}\text{EVEN}$
- $\int_{-\infty}^\infty \text{ODD}=0$
Per més informació entrar a Paritat de funcions

Per $n$  senar

\boxed{\int_{-\infty}^\infty x^ne^{-ax^2}=0}

Per $n$  parell

\boxed{ \int_{-\infty}^{\infty} x^n e^{-a x^2} dx = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{a^{(n+1) / 2}}}

\int_{-\infty}^\infty x^ne^{-ax^2}= \frac{(n-1)!!}{2^{\frac{n}{2}}a^{\frac{n+1}{2}}}\sqrt{\pi}

Exemples ràpids
- $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} dx= \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{a}}$
- $\int_{-\infty}^{\infty}x e^{-a x^2} dx=0$
- $\int_{-\infty}^{\infty}x^2 e^{-a x^2} dx= \frac{\sqrt{\pi}}{2a^{3/2}}$
- $\int_{-\infty}^{\infty}x^3 e^{-a x^2} dx= 0$
- $\int_{-\infty}^{\infty}x^4 e^{-a x^2} dx= \frac{3\sqrt{\pi}}{4a^{5/2}}$

3. Integral de

x^ne^{-(ax^2+bx+c)}

Per resoldre aquesta integral ens anirà bé fer un repàs sobre la distribució Gaussiana, també anomenada distribució normal.

Repàs distribució Gaussiana
La distribució gaussiana o distribució normal té com a expressió:
$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}=n(\mu,\sigma^2)$
En què $\mu$  és el valor mitjà de la variable i $\sigma$  és la anomenada desviació estàndard.
Per no allargar-se aquí explicant el significat estadístic d’aquests paràmetres ni el d’on surt l’expressió, deixarem un fragment de 2 minuts d’un vídeo de 3Blue1Brown que ho explica.
- Vídeo explicació 3Blue1Brown
Molt bé, la distribució normal (com qualsevol funció realment) té uns moments (matemàtics) associats. Per la distribució normal aquests moments són
$%----- CONFIGURACIÓ ------ \def\arraystretch{1.5} \small %------------------------- \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline %--- FILA 1 --- \textbf{Ordre} & \textbf{Moment no central} & \textbf{Moment central} & \pmb{\mathbb{E}[x^n]} %-------------- \\ \hline %--- FILA 2 --- 1 & \mu & 0 & 0 %-------------- \\ \hline %--- FILA 3 --- 2 & \mu^2+\sigma^2 & \sigma^2 & 1 %-------------- \\ \hline %--- FILA 4 --- 3 & \mu^3+3\mu\sigma^2 & 0 & 0 %-------------- \\ \hline %--- FILA 5 --- 4 & \mu^4+6\mu^2\sigma^2+3\sigma^4 & 3\sigma^4 & 3 %-------------- \\ \hline \end{array}$
Nota: quan a la pàgina de 📊FONLAB estigui més completada i això estigui explicat bé i al detall allà, simplement referenciar-la.
Més informació:
$E\left([X-\mu]^k\right)=\mu_k=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^k P(x) \mathrm{d} x$
$M(t)=E\left(\mathrm{e}^{t X}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{t x} P(x) \mathrm{d} x$
Moment Generating Function of Gaussian Distribution - ProofWiki
Let $X \sim \Gaussian \mu {\sigma^2}$ for some $\mu \in \R, \sigma \in \R_{> 0}$, where $N$ is the Gaussian distribution.
https://proofwiki.org/wiki/Moment_Generating_Function_of_Gaussian_Distribution

Bé, doncs la gràcia està en adonar-se que podem expressar $e^{-ax^2+bx}$  com una distribució normal si considerem $\mu=\frac{b}{2a}$  i $\sigma=\frac{1}{2a}$ .

Procediment
$n(\mu,\sigma^2) =\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}=\frac{2a}{ \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-b/2a}{2a}\right)^2}=tal$

e^{-a x^2+b x}=\Bigg[\sqrt{\frac{\pi}{a}} e^{\frac{b^2}{4 a}}\Bigg] n(\mu,\sigma^2)

I això permet resoldre la integral en funció dels moments d’una distribució normal estàndard

\int_{-\infty}^{+\infty} x^n e^{-a x^2+b x} d x=\sqrt{\frac{\pi}{a}} e^{\frac{b^2}{4 a}} \int_{-\infty}^{+\infty} x^n n\left(\mu, \sigma^2\right) d x=\sqrt{\frac{\pi}{a}} e^{\frac{b^2}{4 a}} \mathbb{E}\left[x^n\right]

Si aquí hi afegim la constant $e^{-c}$  que ens faltava, l’expressió queda

\boxed{\int_{-\infty}^{+\infty} x^n e^{-(a x^2+b x+c)} d x=\sqrt{\frac{\pi}{a}} e^{\left(\frac{b^2}{4 a}-c\right)} \mathbb{E}\left[x^n\right]}

Ara bé, no és trivial (veure el repàs per més informació), ja que depèn de la funció error, de fet depèn de la funció error complementària, que per $n=0$  pren el valor de $1$ , però per $n\ge1$  no hi ha solució analítica (crec).

\mathbb{E}[x^0]=1\qquad \mathbb{E}[x^n]=\begin{cases} 0\quad &n\text{ senar}\\ (n-1)!!\quad& n\text{ parell}\ge2 \end{cases}

Valors particulars

\boxed{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(ax^2+bx+c)}dx=\small\sqrt{\frac{\pi}{a}}\normalsize e^{\frac{b^2-4ac}{4 a}}}

\boxed{\int_{-\infty}^{\infty} x e^{-\left(a x^2+b x+c\right)} d x=\frac{b}{2 a} \sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2-4ac}{4 a}}}

Extra
$\int_0^\infty x^n e^{(ax^2+bx)}dx$
L’expressió resultant d’integrar per parts:
$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a(x+b)^2} d x=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{\pi}{a}}$
És a dir que no depèn de $b$ , això és així ja que el paràmetre només desplaça la funció, no la deforma. Tal com es pot observar en el gràfic.

Info

“All normal distribution can be transformed into standard normal distribution
by centralized and normalized the random variable by the formula:”

Z_n=\frac{X_n-\mu}{\sigma}

“As mentioned above, the sequence of moments (starting from order 1 moment)
of a normal distribution when calculated has the pattern: {μ, μ2 + σ2, μ3 + 2μσ, μ4 +
6μ2σ2 + 3σ4, μ5 + 10μ3σ2 + 15μσ4, μ6 + 15μ4σ2 + 45μ2σ4 + 15σ6, μ7 + 21μ5σ2 + 105μ3σ4 +
105μσ6, μ8 + 28μ6σ2 + 210μ4σ4 + 420μ2σ6 + 105σ8, ...”

“Thus, for a standard normal distribution, its moment sequence (starting from order
1 moment) is always: {0,1,0,3,0,15,0,105,...} (subtituting σ = 1 and μ = 0 into the
sequence above”